Um die Funktion 3. Grades um eine Nullstellen dezimieren zu können, muss man zunächst eine Nullstelle durch ausprobieren herausfinden. Oft führt aber auch das "Newton'sche Verfahren" schneller zum Ziel, welches wir hier einmal vorstellen möchten.

Newton'sche Verfahren

Vorgehen : Man wählt irgendeine beliebige Zahl und setzt diese vorne bei x0 ein und rechnet die Zeile mit den Formeln entsprechend durch. Die Zahl, die am Ende hinten rauskommt wird wieder vorne bei x0 eingesetzt. Das macht man solange, bis f(x) = 0 wird. Dann haben wir mit x0 unsere 1. Nullstelle gefunden. Für das Verfahren benötigen wir die 1. Ableitung f'(x) :

f(x) = 1,5 x³ + 5x² - 2,5 x - 4

f'(x) = 4,5 x² + 10x - 2,5

\( \textbf{x0} \)	\( \textbf{f(x)} \)	\( \textbf{f'(x)} \)	\( \frac{\textbf{f(x)}}{\textbf{f'(x)}} \)	\( \textbf{x0-}\frac{\textbf{f(x)}}{\textbf{f'(x)}} \)
2	23	35,5	\( \frac{23}{35,5} \)	1,352
1,352	5,469	19,248	0,2481	1,068
1,068	0,8604	13,3127	0,646	1,003
1,003	0,041
1	0

Beim vorletzten Schritt habe ich angenommen, dass die Nullstelle bei x=1 liegen muss und einmal x=1 in die Funktionsgleichung eingesetzt :

f(x) = 1,5 x³ + 5x² - 2,5 x - 4

f(1) = 1,5*(1)³ + 5*(1)² - 2,5*(1) - 4

f(1) = 0

Die 1. Nullstelle liegt tatsächlich bei P2(1 / 0).
Dies ist neben dem Achsenabschnitt unser zweiter Punkt für die Kurvendiskussion.

Horner Schema

Mit Hilfe des Horner Schemas kann man eine Funktion 3. Grades und einer Nullstelle schnell in eine Funktion 2. Grades umwandeln. Eine andere Möglichkeit wäre auch eine Polynomdivision durchzuführen.

Man trägt die Koeffizienten der Funktion 3. Grades alle in die obere Zeile ein. Die Potenzen müssen hierbei alle nacheinander und absteigend stehen. Fehlt eine Potenz (z.B. x²) muss dafür eine 0 eingetragen werden.

Vorgehensweise :

Man trägt vorne den x-Wert der Nullstelle ein (in diesem Fall x=1). Der 1. Koeffizient wird runtergezogen (wie bei der schriftlichen Division oder Polynomdivision). Dann mit 1 (dem x-Wert der Nullstelle) multipliziert. Das Ergebnis schreibt man unter den 2. Koeffizienten und addiert beide. Das Ergebnis schreibt man darunter. Dann wieder multiplizieren usw.

f(x) = 1,5 x³ + 5x² - 2,5 x - 4

	1,5	5	-2,5	-4
x=1		1,5	6,5	4
	1,5	6,5	4	0

Wenn unten rechts als letztes 0 herauskommt, haben wir richtig gerechnet. Die Koeffizienten in der untersten Zeile entsprechen nun den der dezimierten Funktion 2. Grades (quadratischen Funktion) :

g(x) = 1,5 x² + 6,5 x + 4

Da die Funktion in der allgemeinen Form steht, müssen wir die ABC-Formel anwenden, um die 2 letzten Nullstellen herauszubekommen, wenn diese existieren :

\( x_{3,4} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)

\( x_{3} = \frac{-6,5 +\sqrt{(6,5)^2 - 4*1,5*4}}{2*1,5} \)

\( x_{3} = -0,743 \)

\( x_{4} = \frac{-6,5 -\sqrt{(6,5)^2 - 4*1,5*4}}{2*1,5} \)

\( x_{4} = -3,591 \)

Es gibt somit 3 Nullstellen und diese liegen bei :

P2( 1 / 0 )   P3(-0,743 / 0)   und   P4(-3,591 / 0)

Das Vorgehen zum Finden der Nullstellen für die Funktion 3. Grades besteht also darin zunächst eine erste Nullstelle zu finden und mit Hilfe dieser und dem Horner Schema die Funktion f(x) in eine quadratische Funktion 2. Grades g(x) zu überführen, die dann als Lösung die beiden anderen Nullstellen enthält.