Kubische Funktionen

Taschenrechner

⌫

(

)

d/c

sin

cos

tan

sin⁻¹

cos⁻¹

tan⁻¹

√

³√

xʸ

Science Calculator v1.8.1

Ganzrationale Funktionen 3. Grades

f(x) = ax³ + bx² + cx + d

a: b: c: d:

Nullstellen Extrema Wendepunkt Wendetangente 1. Ableitung 2. Ableitung

f(x)

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Kubische Funktion Graph v1.0.0

Die allgemeine Funktionsgleichung einer kubischen Funktion (ganzrationale Funktion 3. Grades) lautet:

f(x) = a*x³+b*x²+cx+d

Die Koeffizienten von a bis d können hier eingestellt werden. Probiere hierbei aus, wie sich die Funktion im Graphen verändert.

Wird der x-Wert = 0 (bei a,b,c) ist nur noch der Parameter d wirksam. Es ist der y-Achsenabschnitt der Funktion.

Funktionen 3. Grades sind ein erstes wichtiges Beispiel für sogenannte „Extremwertsituationen“, wenn z.B. ein Minimum oder ein Maximum in einer Problemstellung gefunden werden soll.

Z.B. ein minimaler Flächeninhalt einer Oberfläche eines geometrischen Körpers oder ein maximaler Leistungswert.

Sie können die Extrema in dem Graphen anzeigen lassen, indem Sie den Haken an der Checkbox setzen.

Stelle einmal den Koeffizienten auf a=0 ein. Jetzt sind nur noch b,c und d wirksam, was einer quadratischen Funktion gleichkommt. Wird also die Funktion um eine „Nullstelle“ dezimiert, erhalten wir eine quadratische Funktion, die wir wieder leicht mit der PQ- oder ABC-Formel lösen können, um die beiden anderen Nullstellen zu finden (wenn diese existieren).

Eine ganzrationale Funktion 3. Grades hat mindestens 1 Nullstelle und maximal 3.

Um die Funktion um eine Nullstelle zu dezimieren, werden die Linearfaktoren eingesetzt, sowie die Polynomdivision und das Horner-Schema.

LEARNING BY DOING

Die erste kleine Kurvendiskussion

Mit Hilfe der Kurvendiskussion berechnet man Punkte auf der Funktion, um deren Verlauf genau bestimmen zu können. Dazu gehören die Punkte:

Achsenabschnitt
Nullstellen
Extrema
Wendepunkt
Wendetangente (für den Verlauf selbst wichtig)
Asymptotisches Verhalten
Punkt- und Achsensymmetrie

Diese Punkte sollen nun berechnet werden. Als Funktion nehmen wir die oben bereits eingestellte Funktion 3. Grades :

f(x) = 1,5 x³ + 5x² – 2,5 x – 4

Achsenabschnitt
Nullstellen
Extremwerte
Wendepunkt
W.Tangente

Der y-Achsenabschnitt liegt bei x=0. Wir tragen somit x=0 in die Funktion ein:

f(x) = 1,5 x³ + 5x² – 2,5 x – 4

f(0) = 1,5*(0)³ + 5*(0)² – 2,5*(0) – 4

f(0) = -4

Der 1. Punkt ist der y-Achsenabschnitt und liegt bei P1 ( 0 / -4 )

Vorgehensweise: Die Funktion 3. Grades wird mit Hilfe einer gefundenen Nullstelle und dem Horner Schema in eine Funktion 2. Grades überführt (dezimiert), die dann die beiden anderen Nullstellen von f(x) enthält.

Um die Funktion 3. Grades um eine Nullstellen dezimieren zu können, muss man zunächst eine Nullstelle durch ausprobieren herausfinden. Oft führt aber auch das "Newton'sche Verfahren" schneller zum Ziel, welches wir hier einmal vorstellen möchten.

Newton'sche Verfahren - zum Finden der 1. Nullstelle

Vorgehen : Man wählt irgendeine beliebige Zahl und setzt diese vorne bei x0 ein und rechnet die Zeile mit den Formeln entsprechend durch. Die Zahl, die am Ende hinten rauskommt wird wieder vorne bei x0 eingesetzt. Das macht man solange, bis f(x) = 0 wird. Dann haben wir mit x0 unsere 1. Nullstelle gefunden. Für das Verfahren benötigen wir die 1. Ableitung f'(x) :

f(x) = 1,5 x³ + 5x² - 2,5 x - 4

f'(x) = 4,5 x² + 10x - 2,5

$ \textbf{x0} $	$ \textbf{f(x)} $	$ \textbf{f'(x)} $	$ \frac{\textbf{f(x)}}{\textbf{f'(x)}} $	$ \textbf{x0-}\frac{\textbf{f(x)}}{\textbf{f'(x)}} $
2	23	35,5	$ \frac{23}{35,5} $	1,352
1,352	5,469	19,248	0,284	1,068
1,068	0,8604	13,3127	0,0646	1,003
1,003	0,041
1	0

Beim vorletzten Schritt habe ich angenommen, dass die Nullstelle bei x=1 liegen muss und einmal x=1 in die Funktionsgleichung eingesetzt :

f(x) = 1,5 x³ + 5x² - 2,5 x - 4

f(1) = 1,5*(1)³ + 5*(1)² - 2,5*(1) - 4

f(1) = 0

Die 1. Nullstelle liegt tatsächlich bei P2(1 / 0).
Dies ist neben dem Achsenabschnitt unser zweiter Punkt für die Kurvendiskussion.

Horner Schema

Mit Hilfe des Horner Schemas kann man eine Funktion 3. Grades und einer Nullstelle schnell in eine Funktion 2. Grades umwandeln. Eine andere Möglichkeit wäre auch eine Polynomdivision durchzuführen.

Man trägt die Koeffizienten der Funktion 3. Grades alle in die obere Zeile ein. Die Potenzen müssen hierbei alle nacheinander und absteigend stehen. Fehlt eine Potenz (z.B. x²) muss dafür eine 0 eingetragen werden.

Vorgehensweise :

Man trägt vorne den x-Wert der Nullstelle ein (in diesem Fall x=1). Der 1. Koeffizient wird runtergezogen (wie bei der schriftlichen Division oder Polynomdivision). Dann mit 1 (dem x-Wert der Nullstelle) multipliziert. Das Ergebnis schreibt man unter den 2. Koeffizienten und addiert beide. Das Ergebnis schreibt man darunter. Dann wieder multiplizieren usw.

f(x) = 1,5 x³ + 5x² - 2,5 x - 4

	1,5	5	-2,5	-4
x=1		1,5	6,5	4
	1,5	6,5	4	0

Wenn unten rechts als letztes 0 herauskommt, haben wir richtig gerechnet. Die Koeffizienten in der untersten Zeile entsprechen nun den der dezimierten Funktion 2. Grades (quadratischen Funktion) :

g(x) = 1,5 x² + 6,5 x + 4

Da die Funktion in der allgemeinen Form steht, müssen wir die ABC-Formel anwenden, um die 2 letzten Nullstellen herauszubekommen, wenn diese existieren :

$ x_{3,4} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $

$ x_{3} = \frac{-6,5 +\sqrt{(6,5)^2 - 4*1,5*4}}{2*1,5} $

$ x_{3} = -0,743 $

$ x_{4} = \frac{-6,5 -\sqrt{(6,5)^2 - 4*1,5*4}}{2*1,5} $

$ x_{4} = -3,591 $

Es gibt somit 3 Nullstellen und diese liegen bei :

P2( 1 / 0 ) P3(-0,743 / 0) und P4(-3,591 / 0)

Das Vorgehen zum Finden der Nullstellen für die Funktion 3. Grades besteht also darin zunächst eine erste Nullstelle zu finden und mit Hilfe dieser und dem Horner Schema die Funktion f(x) in eine quadratische Funktion 2. Grades g(x) zu überführen, die dann als Lösung die beiden anderen Nullstellen enthält.

Weitere Punkte, die bei der Funktion und später auch in den Aufgaben zur "Extremwertrechnung" wichtig sind, sind die sogenannten Extremwertpunkte (Maximum und Minimum) der Funktion. Schalten Sie jetzt oben im Graphen die Checkboxen für "Extrema" und "1. Ableitung" zu.

Es werden jetzt die beiden Extremwertpunkte und die 1. Ableitungsfunktion angezeigt.

Gehen Sie jetzt von beiden Extremwertpunkten einmal senkrecht nach unten bzw. nach oben bis zur x-Achse. Welchen Wert hat dort die 1. Ableitungsfunktion ?
Genau ! 0 !

Bei den beiden Extremwertpunkten von f(x) hat also die 1. Ableitungsfunktion f'(x) jeweils eine Nullstelle !
So können wir die Extremwertpunkte von f(x) finden. (bei f'(x) = 0). Dies bedeutet, wenn wir eine Tangente an die Extremwertpunkte anlegen, wäre diese genau waagerecht. Die Steigung ist also 0.

Schalten Sie jetzt die 2. Ableitung im Graphen hinzu und schauen Sie wieder jeweils bei den Extremwertpunkten, wie dort die Werte der 2. Ableitungsfunktion f''(x) sind.

Da die f''(x) eine lineare Funktion ist, kann man lediglich sagen, dass bei dem Extremwertpunkt für das Minimum, der Wert von f''(x) größer als 0 ist und bei dem Maximum der Wert von f''(x) kleiner als 0 ist. So können wir die Extremwertpunkte finden (mit der 1. Ableitung) und dann entsprechend einordnen (mit der 2. Ableitung). Wir können also zusammenfassen :

Kriterium für Extremwertpunkte :

f'(x) = 0 und f''(x) > 0, dann Minimum
f'(x) = 0 und f''(x) < 0, dann Maximum

Wir wollen die Extremwerte nun finden und berechnen. Dazu bilden wir von unser Funktion f(x) zunächst die 1. und 2. Ableitung :

f(x) = 1,5 x³ + 5 x² - 2,5 x - 4
f'(x) = 4,5 x² + 10 x - 2,5
f''(x) = 9x + 10

Die 1. Ableitung ist eine quadratische Funktion und es kommen somit als Lösungen 2 Nullstellen heraus (die beiden x-Werte für die beiden Extremwerte).

$ x_{1,2} = \frac{-10 \pm \sqrt{10^2 - 4*4,5*(-2,5)}}{2*4,5} $

$ x_{1} = 0,227$
$ x_{2} = -2,45 $

Jetzt haben wir die x-Werte, wo sich die Extremwerte befinden. Um die y-Werte für die Extremwerte herauszubekommen, müssen wir lediglich die x-Werte in die f(x) einsetzen:

f(x) = 1,5 x³ + 5 x² - 2,5 x - 4

f(0,227) = -4,3

f(-2,45) = 10,08

Die Extremwertpunkte befinden sich somit bei Pe1 (0,227 / -4,3) und Pe2 (-2,45 / 10,08).

Welcher Extremwert ist nun Minimum und welcher Maximum ? Das prüfen wir mit der 2. Ableitung nach :

f'(x) = 0 und f''(x) > 0, dann Minimum
f'(x) = 0 und f''(x) < 0, dann Maximum

f''(x) = 9x + 10

Wir setzen die x-Werte der Extremwerte ein :

f''(0,227) = 12,043 und somit größer als 0 => Minimum
f''(-2,45) = -12,05 und somit kleiner als 0 => Maximum

Ergebnis :

Pe1 (0,227 / -4,3) => Minimum

Pe2 (-2,45 / 10,08) => Maximum

Schauen Sie oben in den Graphen, ob die Extremwertpunkte dort mit den hier errechneten Werten übereinstimmen.

Beim Wendepunkt ändert der Graph seine Drehrichtung. Z.B. von einer Rechts- in eine Linksdrehung. Er krümmt sich dann andersherum. Das ist beim Zeichnen des Graphen und für das Verstehen wichtig, wie der Graph genau aussieht. Am Wendepunkt spiegeln sich zudem die Maximum und Minimum Extremwerte. Das ist noch für die kommende Punkt- und Achsensymmetrie wichtig.

Den Wendepunkt und die dazugehörige Wendetangente zu ermitteln / errechnen gehört zum Thema Kurvendiskussion dazu und soll hier einmal vorgestellt werden.

Schauen Sie oben in den Graphen, wo die 2. Ableitung ihren Nullpunkt (Nullstelle) hat. Geht man von diesen senkrecht nach oben oder unten so treffen wir auf die f(x), aber nicht wo sich die beiden Funktionen kreuzen. Die beiden Funktionen laufen in diesem gezeigten Beispiel nur zufällig in der Nähe des Wendepunktes zusammen. Der Wendepunkt liegt etwas links davon.

Um den x-Wert des Wendepunktes zu berechnen, muss die 2. Ableitung f''(x) = 0 sein.

Dazu bilden wir von unser Funktion f(x) zunächst die 1. und 2. Ableitung :

f(x) = 1,5 x³ + 5 x² - 2,5 x - 4
f'(x) = 4,5 x² + 10 x - 2,5
f''(x) = 9x + 10

Die 2. Ableitung ist hier eine lineare Funktion:

y = 9x + 10 = 0 |-10

9x = -10 |:9

$x = -\frac{10}{9}=-1,11 $

Um den y-Wert des Wendepunktes rechnerisch zu bestimmen, setzt man einfach den x-Wert in die Ausgangsgleichung ein und erhält den y-Wert auf der Kurve:

f(x) = 1,5 x³ + 5 x² - 2,5 x - 4

f(-1,11) = 2,88

Der Wendepunkt Pw liegt somit bei Pw ( -1,11 / 2,88 ) .

Beim Wendepunkt gibt es noch eine Besonderheit. Ist die Steigung an diesem Punkt null, so ist der Wendepunkt kein Wendepunkt, sondern ein sogenannter Sattelpunkt. Die Steigung darf also an diesem Punkt nicht null sein. Das prüfen wir mit der 3. Ableitung f'''(x).

Ist $ f'''(x) \ne 0 $ ?

f''(x) = 9x + 10

f'''(x) = 9 und somit ungleich null !

Es handelt sich um den errechneten Punkt wirklich um einen Wendepunkt und keinen Sattelpunkt.

Die Wendetangente verläuft durch den Wendepunkt und wird in den Graphen eingezeichnet, um die Drehungsänderung des Graphen besser nachvollziehen zu können und wie sich die Symmetrie verhält.

Eine Tangente ist eine lineare Funktion. Wir müssen nun ausgehend von dem bekannten Wendepunkt jetzt rückwirkend die lineare Funktion (Wendetangente) berechnen.

Die allgemeine lineare Funktionsgleichung:

f(x) = m * x + b

Wir haben f(x), welches der y-Wert des Wendepunktes ist, und wir haben x, welches der x-Wert des Wendepunktes ist. Uns fehlen also m (die Steigung) und b (der Achsenabschnitt).

Da der Wendepunkt Pw ein Punkt des Graphen f(x) ist, können wir mit der 1. Ableitung f'(x) die Steigung an dem Punkt (x-Wert) berechnen:

f(x) = 1,5 x³ + 5 x² - 2,5 x - 4
f'(x) = 4,5 x² + 10 x - 2,5

Der Wendepunkt liegt, wie bereits berechnet, bei Pw ( -1,11 / 2,88 )

Wir setzen nun den x-Wert des Wendepunktes in die 1. Ableitung f'(x) ein:

f'(x) = 4,5 x² + 10 x - 2,5

f'(-1,11) = 4,5 * (-1,11)² + 10 * (-1,11) - 2,5

f'(-1,11) = -8,06

Die Steigung m der linearen Tangentenfunktion ist somit m = -8,06

Jetzt fehlt uns noch der Achsenabschnitt b. Dazu stellen wir einfach unsere Formel nach b um:

$ y = m * x + b |-(m*x) $
$ y - (m*x) = b $

Den Wendepunkt Pw mit x und y einsetzen:

$ 2,88 - [-8,06*(-1,11)] = b $

$ b =-6,06 $

Unsere lineare Wendetangentenfunktion lautet somit zusammengefasst:

t(x) = -8,06 x - 6,06

learning by doing

Horner Schema

Koeffizienten:

Nullstelle x0 =

f(x) = 1,5 x³ + 5x² – 2,5 x – 4

Trage die Koeffizienten in das „Horner Schema“ ein. Achte dabei auf die Vorzeichen, die mit eingetragen werden müssen.

Als Nullstelle x0 kannst Du alle 3 bereits errechneten Nullstellen einmal ausprobieren.

Es kommt dann immer als Ergebnis eine andere quadratische Funktion g(x) heraus, die dann die anderen 2 Nullstellen der Funktion f(x) enthält.

Ergibt der letzte Schritt der Tabelle unten rechts nicht den Wert 0, handelt es sich bei dem eingegebenen Wert von x0 um keine Nullstelle der Funktion f(x).

Mit dem Taschenrechner am Bildrand (oder Deinem Eigenem) kannst Du die Tabelle einmal durchrechnen und die Werte nachvollziehen.

ABC-Formel Rechner

x 1,2 = - \pm \sqrt ()² - 4 \cdot \cdot 2 \cdot

ABC-Formel Widget v2.0.0

$$ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$

g(x) = a*x² + b*x + c

Nachdem Du das „Horner Schema“ durchgerechnet hast, kommt eine Funktion 2. Grades heraus. Trage die Koeffizienten a,b und c dann in die ABC-Formel ein, um die beiden anderen Nullstellen zu erhalten.

Rechne das „Horner Schema“ und dann darauf die ABC-Formel auch mit den anderen Nullstellen durch.

Polynomdivision Rechner

Berechnet: (ax³ + bx² + cx + d) : (x - x₀)

x₀:

Polynomdivision Rechner v1.0.1

f(x) = 1,5 x³ + 5x² – 2,5 x – 4

Da wir oben die Polynomdivison erwähnt haben, stellen wir hier noch einmal die Polynomdivison vor. Sie entspricht dem Zweck her dem vom Horner Schema.

Mit Hilfe einer Nullstelle kann die Funktion 3. Grades in eine Funktion 2. Grades überführt werden.

Die Nullstelle wird hier im Widget direkt mit x0 eingegeben (z.B. x0 = 1).

In der Polynomdivison wird die Nullstelle als „Linearfaktor“ eingesetzt. Dazu wird x = 1 einfach umgestellt nach (x – 1) = 0.

Der linke Teil wird dann Linearfaktor genannt: (x – 1)

Was nach dem Durchrechnen am Ende als Ergebnis hinter dem Gleichheitszeichen steht, ist dann wieder die Funktion 2. Grades, welche die beiden anderen Nullstellen der Funktion 3. Grades enthält.

\( \textbf{x0} \)	\( \textbf{f(x)} \)	\( \textbf{f'(x)} \)	\( \frac{\textbf{f(x)}}{\textbf{f'(x)}} \)	\( \textbf{x0-}\frac{\textbf{f(x)}}{\textbf{f'(x)}} \)
2	23	35,5	\( \frac{23}{35,5} \)	1,352
1,352	5,469	19,248	0,284	1,068
1,068	0,8604	13,3127	0,0646	1,003
1,003	0,041
1	0