• Teste mal, was passiert, wenn man nur den Achsenabschnitt beider Funktionen verändert (b1 und b2). Beide Graphen verschieben sich zwar, bleiben aber parallel zueinander, da die Steigung nicht verändert wird. Sie können sich nicht in einem Punkt schneiden / kreuzen. Es sei denn, Sie liegen genau übereinander. Dann gleichen Sie sich und schneiden in allen Punkten.
• Teste mal, was passiert, wenn man die Steigung ändert. Jetzt „kippen“ die Funktionen. Teste mal selbst aus, wenn man m1 und m2 positiv und negativ einstellt, wie die Funktionen dann kippen.
• Stelle nun die Funktionen so ein, dass sie sich in einem gut sichtbaren Punkt überschneiden – der Schnittpunkt S genannt wird.
• Den Schnittpunkt S kann man berechnen. Dabei überprüft man bei der Berechnung, ob die y-Werte von f(x) und g(x) an einem Punkt gleich sind. Du kannst auch mit dem Mauszeiger auf den Schnittpunkt fahren und siehst die Koordinaten an dieser Stelle. Diese stimmen für beide Funktionen f(x) und g(x) überein (es können im Graphen nur ganzzahlige x-Werte abgelesen werden, keine Kommazahlen, also an den markierten Punkten).

Um den Schnittpunkt zweier linearen Funktionen zu erhalten, gibt es verschiedene Möglichkeiten und Verfahren. Die naheliegendste Methode ist den Schnittpunkt S grafisch zu ermitteln und abzulesen

Dies ist leider nicht immer möglich und würde recht kompliziert werden, jedes Mal ein Koordinatensystem zeichnen zu müssen.

Der einfachste Weg ist tatsächlich der rechnerische Lösungsweg.

Hier bieten sich 3 Rechenwege / Verfahren an :

• Gleichsetzungsverfahren
• Einsetzungsverfahren
• Additionsverfahren

Unsere gewählten Funktionen für die Berechnung sind :

f(x) = -0,5x + 10
g(x) =  0,5x - 2

Der Schnittpunkt S liegt dann bei S(12 / 4), den wir nun rechnerisch ermitteln wollen :

f(x) und g(x) stehen ja für einen y-Wert, der beim Schnittpunkt für beide Funktionen gleich ist. Wir schreiben die Funktionen nun mit y um in:

y = -0,5x + 10
y =  0,5x - 2

Jetzt können wir beide Funktionen gleichsetzen. Die y-Werte werden also gleichgesetzt, um den zugehörigen x-Wert zum y-Wert zu finden :

-0,5x + 10 = 0,5x – 2 | – 0,5x

-1x + 10 = -2 | – 10

– x = – 12 | *(-1)

x = 12

Um den y-Wert des Schnittpunktes S zu erhalten, kann man den errechneten x-Wert mit 12 in eine der beiden Ausgangsfunktionen einsetzen. Der Schnittpunkt S ist ja ein Punkt beider Funktionen und daher liefern beide Funktionen den gleichen y-Wert.

y = -0,5x + 10

y = -0,5 * 12 + 10

y = 4

=>   S (12 / 4)

Unsere gewählten Funktionen für die Berechnung sind :

I:  y = 5x - 9
II: 2x + 3y = 12

Es können auch Matheaufgaben in Tests vorkommen, in denen die linearen Funktion so gegeben sind wie hier. Das ist sehr tückisch in Mathetests, da man vielleicht erstmal nicht weiß, wie man an die Aufgabe herangehen soll.

Aber wenn man sich die Aufgabe in Ruhe und genau anschaut, erkennt man, dass die 1. Gleichung bereits nach y aufgelöst ist.

Um den Schnittpunkt S zu finden, kann man jetzt einfach die 1. nach y aufgelöste Funktionsgleichung in die 2. Gleichung einsetzen (gemäß dem Einsetzungsverfahren) :

2x + 3*(5x - 9) = 12

Wenn man etwas in der Mathematik in andere Gleichungen einfügt, sollte man das immer in Klammer setzen. So gibt es keine Rechenfehler.

Man muss jetzt das Distributivgesetz anwenden und die Klammer ausmultiplizieren :

2x + 3*(5x – 9) = 12

2x + 15x – 27 = 12

Zusammenfassen :

17x – 27 = 12    | +27

17x = 39    | :17

x = 39/17   (als Bruch)

Wenn ein Bruch als Ergebnis herauskommt, kann man den am besten so stehen lassen und sollte diesen nicht in eine Dezimalzahl umwandeln, da es später sonst zu Rundungsfehlern kommen kann, wenn man mit der verkürzten Dezimalzahl weiterrechnet.

Um den y-Wert des Schnittpunktes S herauszubekommen, setzt man einfach den x-Wert wieder in eine beliebige Ausgangsfunktion von oben ein. Anbieten würde sich hierbei die 1. Gleichung, da diese bereits nach y umgestellt ist :

I: y = 5x – 9

y = 5*(39/17) – 9

y = 2,47

=> S ( 2,29 / 2,47 )

Zum Schluß habe ich dann den Bruch mit 39/17 in eine Dezimalzahl umgewandelt : 2,29

Du kannst beide Ausgangsfunktionen auch oben im Graphen einstellen und den Schnittpunkt S überprüfen. Die zweite Gleichung müsstest Du dann dafür nach y umstellen : 

II: 2x + 3y = 12   | -2x

3y = 12 – 2x   | :3

  y = 4 – (2/3) x    | umstellen

  y = -(2/3) x + 4

Unsere gewählten Funktionen für die Berechnung sind :

I: 2x - 3y = -4
II: 3x + y = 5

Beim Additionsverfahren wird eine Gleichung so mit einer Zahl multipliziert, dass sich bei anschließender Addition beider Funktionsgleichungen, eine Variable zu 0 addiert (wegfällt).

Hier würde sich die Variable y anbieten, da das -3y in der 1. Gleichung leicht wegaddiert werden kann, wenn man die 2. Gleichung mit 3 multipliziert :

I: 2x - 3y = -4
II: 3x + y = 5  | *3

I: 2x - 3y = -4
II: 9x + 3y = 15

Nun addiert man beide Gleichungen (Term für Term) miteinander :

I+II=III:  11x - 0y = 11

Das y hat sich jetzt wegaddiert und es bleibt nur noch x, wonach wir gut umstellen können und erhalten den x-Wert des Schnittpunktes S :

III: 11x = 11   | :11

x = 1

Jetzt muss man das x=1 wieder in eine der beiden Ausgangsfunktionen oben einsetzen. Dafür würde sich die 2. Gleichung anbieten, da diese schon fast nach y umgebaut ist :

II: 3x + y = 5   | -3x

y = 5 - 3x

Und setzen x=1 in die Gleichung ein:

y = 5 - 3*1

y = 2

=>  S(1 / 2)

Welche der 3 Verfahren man in Mathetests anwendet, da die Zeit doch recht knapp bemessen ist, richtet sich nach den Ausgangsgleichungen, wie diese bereits zu Beginn aufgestellt sind. So muss man nicht viel umstellen oder rechnen, wenn man sich kurz Zeit nimmt und überlegt, welches Verfahren das „effektivere“ ist, um die Aufgabe zu lösen.

Beispiele für Ansätze :

Gleichsetzungsverfahren verwenden, wenn beide Funktionen bereits nach y umgestellt sind, wie hier in dem Beispiel. So braucht man diese nur gleichzusetzen :

I:  y = -0,5x + 10
II: y =  0,5x - 2

Einsetzungsverfahren verwenden, wenn eine Funktion bereits nach einer Variable umgestellt ist und die andere Funktionsgleichung nicht, wie hier im Beispiel :

I:  y = 5x - 9
II: 2x + 3y = 12

Additionsverfahren verwenden, wenn x und y bereits beide auf einer Seite liegen, wie hier im Beispiel :

I: 2x - 3y = -4
II: 3x + y = 5