Die allgemeine Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion lautet:
f(x) = a*x²+b*x+c
In Parabelform :
f(x) = a*x²+b (wenn a=1, entsteht eine Normalparabel)
In Scheitelpunktform :
f(x) = a*(x – xs)² + ys
Im gezeichneten Graphen wird nur die Parabel- und die Scheitelpunktform benutzt.
Die allgemeine Funktionsgleichung ganz oben wird in diese beiden Formen umgewandelt, um diese grafisch darzustellen.
Hier bedeuten :
f(x) = Funktionswert an einer bestimmten Stelle x des Graphen
a = Faktor für Streckung und Stauchung der Funktion
x = der laufende x-Wert
xs = x-Wert des Scheitelpunktes S mit umgekehrten Vorzeichen
ys = y-Wert des Scheitelpunktes S
LEARNING BY DOING
- Teste aus, was passiert, wenn man den Faktor a ganz vorne vergrößert oder verkleinert. Die Funktion wird dann gestreckt oder gestaucht. Schaue Dir dabei auch die Funktionsgleichung im Graphen an.
- Was passiert, wenn das Vorzeichen von Faktor a positiv bzw. negativ wird ?
- Teste aus, was passiert, wenn man den Wert für xs ändert. Der Graph wird dann in x-Richtung verschoben. Er entspricht dem x-Wert des Scheitelpunktes S mit umgekehrten Vorzeichen.
- Wenn man den letzten Zahlenwert für ys ändert, wie verschiebt sich dann der Graph ? Er entspricht dem y-Wert des Scheitelpunktes S.
Parabelform
f(x) = a*x²+b (wenn a=1, entsteht eine Normalparabel)
Hier ist die Normalparabel am bekanntesten. D.h. wenn der Faktor a vorne a=1 ist. Der Faktor ist für die Streckung und Stauchung der quadratischen Funktion verantwortlich. Wird der Faktor größer als 1 wird diese gestreckt und darunter bis 0 gestaucht. Dann ist sie keine Normalparabel mehr, sondern einfach nur eine Parabel.
Wird der Faktor negativ, ist die Parabel nach unten geöffnet. Auch dort kann sie dann wieder gestreckt und gestaucht werden.
Probiere es oben aus !
Beispiele :
- f(x) = x²
Normalparabel, da a=1 ist. Sie liegt mit dem Scheitelpunkt direkt im Mittelpunkt des Koordinatensystems und ist nicht verschoben. Sie ist zudem nach oben geöffnet, da a positiv ist (man muss sich die 1 vor dem x² denken, da Einsen nicht mitgeschrieben werden).
- f(x) = – x²
Wieder eine Normalparabel da a=1 ist. Sie ist aber diesmal nach unten geöffnet, da das Vorzeichen negativ ist. Man könnte auch sagen a = -1.
- f(x) = x² + 3
Eine Normalparabel (a = 1), nach oben geöffnet (a positiv) und ist mit dem Achsenabschnitt b = 3 nach oben verschoben.
- f(x) = 2 x² – 5
KEINE Normalparabel (da a ≠ 1), sondern nach oben gestreckt und um 5 nach unten verschoben (b = -5).
Probiere weitere Möglichkeiten mit unterschiedlichen Vorzeichen und Zahlenwerten oben im Graphen aus !
Scheitelpunktform
f(x) = a*(x – xs)² + ys
Mit Hilfe des Scheitelpunktes S kann man den Graphen im kartesischen Koordinatensystem beliebig hin und her bewegen. Man greift symbolisch den Scheitelpunkt S mit der Hand und schiebt diesen (und damit den Graphen) durch das Koordinatensystem.
Achtung beim Ablesen des xs-Wertes !
Beim Ablesen des x-Wertes des Scheitelpunktes S aus der Funktionsgleichung muss man aufpassen. Denn der Wert für xs ist vorzeichenverkehrt. D.h. ein abgelesener Wert von xs = -3 aus der Funktionsgleichung bedeutet für den x-Wert des Scheitelpunktes ein xs = +3.
Beispiel :
f(x) = 5*(x – 3)² + 7
Hier wird ein xs = -3 aus der Funktionsgleichung abgelesen. D.h. der Scheitelpunkt liegt bei der x-Koordinate +3. Der ys-Wert ist 7. Dieser wird direkt übernommen :
=> Scheitelpunkt S( 3 / 7 )
Teste es oben im Graphen aus !
Um eine quadratische Funktion, die in der allgemeinen Form steht, in die Scheitelpunktform umzuwandeln, benötigt man die quadratische Ergänzung QE. Sie wird bei der Umwandlung addiert und subtrahiert.
Allgemeine Funktionsgleichung : f(x) = a*x² + b*x + c
Wenn a = 1 ist, kann man direkt mit der Umformung beginnen.
Wenn a \( \ne \) 1 ist, muss der Koeffizient a ausgeklammert werden.
Beispiel :
Für die Umwandlung der Funktion in die Scheitelpunktform nehmen wir wieder die Funktion, die wir bereits bei der PQ-Formel und ABC-Formel benutzt haben, um einen direkten Vergleich zu haben :
f(x) = 4x² - 12x - 40 (allgemeine Form, da a \( \neq \) 1)
a muss ausgeklammert werden, da a \( \neq \) 1 :
f(x) = 4 * (x² - 3x) - 40
Die Variable c mit - 40 wird dabei nicht mit in die Klammer einbezogen, weil die Klammer in eine quadratische Form für die Scheitelpunktform (Binomische Form) umgewandelt werden muss mit (.....)², um den Rechenregeln der binomischen Formeln zu entsprechen.
Man umschließt die runde Klammer mit einer eckigen Klammer und ergänzt IN der runden Klammer die Quadratische Ergänzung. Dabei wird sie einmal addiert und einmal subtrahiert. Dadurch ändert sich der Wert der Funktion nicht, weil wir den Wert einmal addiert und einmal wieder subtrahiert haben. Die QE hilft aber bei der folgenden Umwandlung. Sie wird gebildet mit \( (\frac{b}{2})² \). Dabei wird der gesamte Bereich mit den beiden QE eingeklammert, weil noch a=4 berücksichtigt werden muss.
f(x) = 4 * [ (x² - 3x + \( (\frac{-3}{2})² - (\frac{-3}{2})² \) ) ] - 40
f(x) = 4 * [ (x² - 3x + 1,5² - 1,5²) ] - 40
Durch das Quadrieren wird der negative Bruch positiv. Mit Hilfe der 1. oder 2. binomischen Formel (je nach Vorzeichen) kann man nun die ersten 3 Terme in der Klammer zusammenfassen, weil wir ja die Form (.....)² für die Scheitelpunktform anstreben.
Erinnerung :
1. Binomische Formel : (a + b)² = a² + 2ab + b²
2. Binomische Formel : (a - b)² = a² - 2ab + b²
Hier liegt also die 2. Binomische Formel vor, da wir ein Minus in der Klammer haben. Es wird also a² - 2ab + b² in (a - b)² mit Hilfe der 2. Binomischen Formel umgewandelt. Dabei wird lediglich der reine Wert von b hinten in die Klammer eingetragen (s. Binomische Formeln) :
f(x) = 4 * [ (x - 1,5)² - 1,5² ] - 40
Jetzt muss noch die äußere Klammer aufgelöst werden (Distributivgesetz) :
also: 4 mal (x-1,5)² und 4 mal -1,5²
f(x) = 4 * (x - 1,5)² - 9 - 40
Und die Zahlen hinten zusammenfassen:
f(x) = 4 * (x - 1,5)² - 49 (Scheitelpunktform)
Scheitelpunkt S direkt berechnen
Wenn nicht die Scheitelpunktform gefragt ist, kann der Scheitelpunkt S auch direkt aus der allgemeinen quadratischen Funktionsgleichung berechnet werden mit :
f(x) = a*x² + b*x + c
\( S (x; y) = ( - \frac{b}{2*a}; \frac{4*a*c-b²}{4*a} ) \)
Von dem Beispiel oben die Werte eingetragen ergeben :
\( S (x; y) = ( - \frac{-12}{2*4}; \frac{4*4*(-40) - (-12)²}{4*4} ) \)
\( S (1,5 ; -49 ) \)
Die Nullstellen entstehen, wenn der Graph durch die x-Achse verläuft. Er hat an diesen Stellen dann den Funktionswert f(x) = 0. Die Nullstellen können mit der PQ-Formel oder mit der Mitternachtsformel (ABC) gefunden / berechnet werden.
PQ-Formel :
Die PQ-Formel ist eine Sonderform der ABC-Formel. Die PQ-Formel kann nur angewendet werden, wenn die quadratische Funktionsgleichung in der sogenannten Normalform steht, wenn a=1 ist :
Allgemeine Funktionsgleichung : f(x) = a*x² + b*x + c mit a=1 => f(x) = x² + p*x + q (Normalform)
Um die Allgemeine Funktionsgleichung in eine Normalform zu überführen, kann man die ganze Funktion durch a teilen und erhält die Normalform und kann dann die PQ-Formel anwenden. Oder man geht vorab den Weg über die ABC-Formel, die allgemeingültig ist.
Beispiel :
f(x) = 4x² - 12x - 40 (allgemeine Form, da a \( \neq \) 1)
In Normalform umwandeln :
f(x) = 4x² - 12x - 40 | :(a=4)
f(x) = x² - 3x - 10 => Normalform mit p = -3 und q = -10. Man achte auf die Vorzeichen ! Das Minus darf nicht vergessen werden.
Jetzt kann man die PQ-Formel anwenden :
\( x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q} \)
In der Formel steht ein \( \pm \) Zeichen drin. Das bedeutet, man rechnet die Formel einmal mit einer Addition und einmal mit einer Subtraktion durch.
1. Nullstelle mit Addition :
\( x_{1} = -\frac{-3}{2} +\sqrt{\left(\frac{-3}{2}\right)^2 - (-10)} \)
\(\textbf x_{1} = 5 \)
2. Nullstelle mit Subtraktion :
\( x_{2} = -\frac{-3}{2} -\sqrt{\left(\frac{-3}{2}\right)^2 - (-10)} \)
\(\textbf x_{2} = -2 \)
Die Nullstellen, wo die quadratische Funktion durch die x-Achse verläuft, sind bei x1 = 5 und bei x2 = -2
Pn1 ( 5 / 0 ) und Pn2 ( -2 / 0 )
Satz von Vieta
Mit dem "Satz von Vieta" kann man die errechneten Nullstellen schnell überprüfen. Der "Satz von Vieta" besagt:
x1 + x2 = -p
x1 * x2 = q
5 + (-2) = 3 => -p = -3
5 * (-2) = - 10
Er gilt aber nur für die Normalform ! Man muss oben also in die Normalform schauen, ob die Werte für p und q stimmen.
Stimmt ! Wir haben also richtig gerechnet !
Der Satz oder Sätze eignen sich gut, um schnell die errechneten Nullstellen auf Richtigkeit zu überprüfen.
Die Nullstellen entstehen, wenn der Graph durch die x-Achse verläuft. Er hat an diesen Stellen dann den Funktionswert f(x) = 0. Die Nullstellen können mit der PQ-Formel oder mit der Mitternachtsformel (ABC) gefunden / berechnet werden.
ABC-Formel :
Die ABC-Formel kann auch auf allgemeine quadratische Funktionsgleichungen angewendet werden. Es ist dabei nicht notwendig die Funktion in die Normalform umzuwandeln.
Allgemeine Funktionsgleichung : f(x) = a*x² + b*x + c
Beispiel :
Für die Berechnung der Nullstellen nehmen wir wieder die Funktion, die wir bereits bei der PQ-Formel benutzt haben, um einen direkten Vergleich der Nullstellen zu haben.
f(x) = 4x² - 12x - 40 (allgemeine Form, da a \( \neq \) 1)
Jetzt kann man die ABC-Formel anwenden :
\( x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)
In der Formel steht ein \( \pm \) Zeichen drin. Das bedeutet, man rechnet die Formel einmal mit einer Addition und einmal mit einer Subtraktion durch.
1. Nullstelle mit Addition :
\( x_{1} = \frac{-(-12) + \sqrt{(-12)^2 - 4*4*(-40)}}{2*4} \)
\(\textbf x_{1} = 5 \)
2. Nullstelle mit Subtraktion :
\( x_{2} = \frac{-(-12) - \sqrt{(-12)^2 - 4*4*(-40)}}{2*4} \)
\(\textbf x_{2} = -2 \)
Die Nullstellen, wo die quadratische Funktion durch die x-Achse verläuft, sind bei x1 = 5 und bei x2 = -2
Pn1 ( 5 / 0 ) und Pn2 ( -2 / 0 )
Satz von Vieta
Mit dem "Satz von Vieta" kann man die errechneten Nullstellen schnell überprüfen. Der "Satz von Vieta" besagt:
x1 + x2 = -p
x1 * x2 = q
5 + (-2) = 3 => -p = -3
5 * (-2) = - 10
Er gilt aber nur für die Normalform ! Man muss oben also in die Normalform schauen, ob die Werte für p und q stimmen.
Das kann man hier erreichen, indem man die allgemeine Funktionsgleichung oben durch a = 4 teilt.
Der Satz oder Sätze eignen sich gut, um schnell die errechneten Nullstellen auf Richtigkeit zu überprüfen.
Mit dem Wert der Diskriminante D kann überprüft werden, ob es reelle Lösungen gibt und wie viele.
Sie gilt nur für die Normalform der quadratischen Funktion.
Sie errechnet sich mit folgender Formel. Das ist der Teil, der unter der Wurzel der PQ-Formel steht. Aus negativen Zahlen kann man keine reellen Zahlen ziehen, nur komplexe Zahlen. Daher kann man mit der Überprüfung der Diskriminante D unter der Wurzel schon prüfen, welche Art von Lösungen herauskommen.
\( D=( \frac{p}{2} )²-q \)
wenn D > 0, gibt es 2 verschiedene reelle Lösungen
wenn D = 0, gibt es 1 doppelte reelle Lösung
wenn D < 0, gibt es 2 zueinander konjugiert komplexe Lösungen (in der höheren Mathematik wichtig)
Vorab reicht es, wenn man die beiden oberen Ergebnisse kennt (D > 0 und D = 0).