Um die Funktion 3. Grades um eine Nullstellen dezimieren zu können, muss man zunächst eine Nullstelle durch ausprobieren herausfinden. Oft führt aber auch das "Newton'sche Verfahren" schneller zum Ziel, welches wir hier einmal vorstellen möchten.

Newton'sche Verfahren

Vorgehen : Man wählt irgendeine beliebige Zahl und setzt diese vorne bei x0 ein und rechnet die Zeile mit den Formeln entsprechend durch. Die Zahl, die am Ende hinten rauskommt wird wieder vorne bei x0 eingesetzt. Das macht man solange, bis f(x) = 0 wird. Dann haben wir mit x0 unsere 1. Nullstelle gefunden. Für das Verfahren benötigen wir die 1. Ableitung f'(x) :

f(x) = 1,5 x³ + 5x² - 2,5 x - 4

f'(x) = 4,5 x² + 10x - 2,5

\( \textbf{x0} \)	\( \textbf{f(x)} \)	\( \textbf{f'(x)} \)	\( \frac{\textbf{f(x)}}{\textbf{f'(x)}} \)	\( \textbf{x0-}\frac{\textbf{f(x)}}{\textbf{f'(x)}} \)
2	23	35,5	\( \frac{23}{35,5} \)	1,352
1,352	5,469	19,248	0,2481	1,068
1,068	0,8604	13,3127	0,646	1,003
1,003	0,041
1	0

Beim vorletzten Schritt habe ich angenommen, dass die Nullstelle bei x=1 liegen muss und einmal x=1 in die Funktionsgleichung eingesetzt :

f(x) = 1,5 x³ + 5x² - 2,5 x - 4

f(1) = 1,5*(1)³ + 5*(1)² - 2,5*(1) - 4

f(1) = 0

Die 1. Nullstelle liegt tatsächlich bei P2(1 / 0).
Dies ist neben dem Achsenabschnitt unser zweiter Punkt für die Kurvendiskussion.

Horner Schema