🔢 Bei einer längeren mathematischen Begleitung z.B. während einer Fortbildung, eines Studiums oder einer Ausbildung
🔢 oder als Nachhilfe für Schüler/innen
🔢 variable Einstellung auf mathematische Problemlösungen
🔢 unterschiedliche Themen
🔢 10 Termine mit max. 2 Stunden Zeit je Termin oder flexible Zeiteinteilung der 20 Stunden
ECHTE UND UNECHTE BRÜCHE
GEMISCHTE BRÜCHE
learning by doing
Fragestellungen zum Ausprobieren
- Was muss man beachten, damit man überhaupt Brüche addieren und subtrahieren kann ? Finde es durch Ausprobieren heraus.
- Überprüfe, ob die Aussage stimmt : Bei echten Brüchen gibt der Zähler die Anzahl der Teile und der Nenner die Gesamtanzahl der Teile wieder (je Torte). Schaue dazu in die Tortengrafiken.
- Versuche zu erkennen, wie der neue gemeinsame Nenner im Ergebnis zustandegekommen ist.
- Überprüfe : Die gemischten Brüche kann ich in unechte Brüche umwandeln, wenn ich die Ganzzahl vor dem Bruch mit dem Nenner des Bruches multipliziere und dann den Zähler addiere und das Ergebnis dann als neuen Zähler eintrage und als Nenner den alten Nenner verwende.
- Überprüfe : Wenn ich durch einen Bruch teile, kann ich diesen stattdessen dann auch mit dem Kehrwert multiplizieren ?
- Überprüfe : Wenn ich zwei Brüche addiere, kann ich dann einfach die Flächeninhalte der Tortengrafiken addieren ?
- Überlege und Probiere : Beim Kaffeetrinken bei Oma gibt es 1 Torte. Die Torte wird in 6 Teile geschnitten. Jetzt bringt jemand noch eine Torte mit, die wie die 1. Torte geschnitten ist, aber es schon 4 Teile fehlen. Wie viele Tortenstücke sind jetzt insgesamt da ?
DREISATZRECHNUNG
BEISPIEL BEI REZEPTEN
Beispiel Rezepte :
Es kommen 7 Gäste zu Besuch und das Rezept ist für 10 Leute gedacht. Jetzt müssen die Mengenangaben für das Rezept alle auf 7 runtergerechnet werden.
Dafür rechnet man die Menge erst auf 1 Person herunter und dann hoch auf 7 für 7 Personen.
Man dividiert also erst beide Seiten durch 10, sodass man auf 1 Person kommt und erhält dann die Menge für 1 Person. Dann multipliziert man beide Seiten mit 7.
Probiere es doch einmal aus !
Nimm z.B. die 1. Zutat des Rezepts mit Mehl:
Es sind 450g Mehl für das 10 Personenrezept angegeben. Wieviel Gramm Mehl brauchst Du dann für 7 Personen ?
DREISATZRECHNUNG
BEISPIEL MIT E-ROLLER
Beispiel E-Roller :
Die Fahrt mit einem E-Roller kostet für 10 Minuten 2,10 €.
Du warst damit 37 Minuten unterwegs und möchtest wissen, was Du bezahlst musst.
Du rechnest also wieder auf 1 Minute runter (in diesem Fall beide Seiten durch 10 teilen) und rechnest dann auf 37 Minuten hoch (hier beide Seiten mit 37 multiplizieren).
Probiere das Beispiel doch mal oben aus und trage danach mal andere Zahlen für das Beispiel ein.
learning by doing
Fragestellungen zum Ausprobieren
- Wie verwendet man einen Dreisatz ? Auf welche Zahl wird zunächst runtergerechnet ?
- Überlege, in welchen alltäglichen Situationen ein Dreisatz noch nützlich sein könnte.
- Versuche mal die Stromkosten zu berechnen. 1 kWh soll 0,39 € kosten. Es wurden aber nur 0,78 kWh genutzt. Wie gehst Du hier vor und was musst Du zahlen ?
- Versuche jetzt mal mit Deinem Taschenrechner die Ergebnisse zu berechnen und überlege, welche Schritte Du zuerst durchführen musst.
- Ein Jogger braucht für 10 km rund 1 Stunde. Wieviel km hat er nach 20 Minuten geschafft ? Beachte hierbei die Umrechnung von Stunden und Minuten.
ALLGEMEINER DREISATZRECHNER
learning by doing
Im Alltag trifft man häufig auf Fragen zu Prozenten. Wieviel kostet jetzt die Jeans, wenn es 30 % Rabatt gibt ? Wieviel kostet jetzt 1 Liter Benzin, wenn der Preis um 20 % gestiegen ist ?
30 % ist nichts anderes, als eine Bruchzahl, nämlich 30/100.
20 % ist dann 20/100.
Wenn die Jeans 90 € gekostet hat und es nun 30 % Rabatt gibt:
In Bruchschreibweise : 90 € * (30/100) = 27 € Rabatt.
In Prozentschreibweise : 90 € * 30 % = 27 € Rabatt.
D.h. Sie kostet dann nur noch:
90 € – 27 € = 63 €
Wird etwas um Prozente teurer (mehr), muss man es entsprechend raufrechnen / addieren, z.B. beim Benzinpreis:
In Bruchschreibweise: 1,95 € * (20/100) = 0,39 €
In Prozentschreibweise: 1,95 € * 20 % = 0,39 €
Es wird ja um 20 % teurer, also addieren:
1,95 € + 0,39 € = 2,34 €
- Mit den 3 Prozentrechnern links kannst Du die beiden Aufgaben aus der Einführung (Jeans und Benzin) ganz leicht überprüfen und nachvollziehen. Probiere es aus !
- Man kann für die Berechnung mit einem Taschenrechner auch gleich alles in eine Zeile schreiben :
Beispiel Jeans : 90 € * (1 – 0,30) = 63 €
Beispiel Benzin : 1,95 € * (1 + 0,20) = 2,34 €
Überprüfe und rechne nach, ob es stimmt ! Finde heraus, warum das so ist / stimmt und nimm dafür das Distributivgesetz zur Hilfe.
- Probiere auch andere Beispiele aus Deinem Alltag aus.
- Mit einem Klick auf den Aufgabenbutton oben rechts erhältst Du zufällig generierte Aufgaben im PDF-Format zum Downloaden & ausdrucken zum Thema „Prozentrechnung“.
learning by doing
Kopfrechnen üben
Anleitung zum Kopfrechner
Wenn der Toggle-Button auf „Üben“ steht, kannst Du ohne Zeitbeschränkung ganz normal jegliche Arten von Kopfrechenaufgaben üben.
Steht der Button auf „Test“ wird ein Mathetest simuliert, in dem nach 60 Sekunden (1 Minute) die Zeit abläuft. Versuche in der Zeit so viele richtige Aufgaben zu berechnen wie möglich.
Rechts daneben kannst Du den Zahlenbereich einstellen, in dem die Aufgaben gestellt werden.
Daneben ist das Level von 0 bis 3 einstellbar. Mit jedem Level steigt die Anzahl der nacheinander zu berechnenden Terme. Ab Level 1 wird auch ein Hinweis für die Punkt- vor Strichrechnung ausgegeben, wenn entsprechende Rechenarten rechts aktiviert sind.
Rechts neben dem Level-Feld befinden sich die Rechenarten. Markiere hier, welche Rechenarten Du gestellt haben möchtest.
Beim Bruchrechnen erscheinen ab Level 2 auch Multiplikations- und Divisionsaufgaben.
Kannst Du eine Aufgabe nicht berechnen, drücke einfach unten auf den Button „Neue Aufgabe“.
Terme vereinfachen
learning by doing
In dem Termrechner kommen die Variablen a,b,x und y vor. Das sind so die ersten Variablen, mit denen man in der Mathematik bei der Termumformung in Kontakt kommt.
Stellen Sie die Anzahl der Variablen ein, die Sie für die Aufgabenstellung gestellt haben möchten.
Bei den kleineren Schwierigkeitsstufen wird nach 10 sekündiger Anzeige des Ergebnisses mit der nächsten Aufgabe fortgefahren.
Bei den schwierigeren Stufen erscheinen komplexere Terme mit höheren Potenzen. Dort kann man Zwischenschritte (Rechenschritte) eingeben. Sie können dabei beliebig viele Zwischenschritte benutzen, indem Sie beim Eingabefeld einfach auf WEITER oder ENTER drücken. Sind Sie sich sicher, dass das Ergebnis stimmt, drücken Sie stattdessen einfach auf PRÜFEN.
In den schwierigeren Aufgabenstellungen werden auch keine 10 Sekunden mehr ablaufen, wenn das Ergebnis angezeigt wird. Sie können stattdessen auf „Nächste Aufgabe“ klicken, damit Sie Zeit haben, das Ergebnis Schritt-für-Schritt für sich selbst nachzuvollziehen.
Folgende Schreibweisen für die Eingabe der Potenz im EIngabefeld werden unterstützt :
- 2x², 4x³,…
- 2×2, 4×3,…
- 2x^2, 4x^3
Bei der Addition und Subtraktion von Termen können nur Terme mit gleicher Variable und gleichen Exponenten zusammengefasst werden. Die Koeffizienten werden dann entsprechend addiert oder subtrahiert.
Beispiele :
- 2x + 4x = 6x
- 7x² – 9x² = – 2x²
- -5b^4 + 10b^4 = 5b^4
Bei der Multiplikation werden Koeffizienten und Variablen multipliziert und Potenzen gleicher Variablen addiert.
Beispiele :
- 2x * 4x = 8x²
- 7x^4 * 2x^2 = 14x^6
- -5x * 7x² = – 35x³
- 3ab * 5x = 15abx
Bei der Division (meist in Bruchform) werden die Koeffizienten dividiert und die Potenzen gleicher Variablen subtrahiert (weggekürzt).
Beispiele :
- (6x³b) / (3x) = 2x²b
- (15ab) / (5a) = 3b
- (4a – 6b) / (2a) = aufpassen ! Hier steht im Zähler eine Differenz! Das kann so nicht weggekürzt werden. Man könnte aber durch die 2 im Nenner teilen, wenn man es bei beiden Termen im Zähler durchführt:
(4a – 6b) / (2a) = (2a – 3b) / a
Der Bruch ist somit vereinfacht worden.
🔢 Rechenregeln Wurzelrechnung, Potenzrechnung und Logarithmus, Umrechnung von Logarithmen untereinander, natürlicher Logarithmus, Zehnerlogarithmus, Zweierlogarithmus, beliebige Basen
Mit multimedialer Unterstützung mit den Taschenrechnern der National Instruments
🔢 Beschriftungen am Dreieck (Ecken, Seiten, Winkel)
🔢 Satz des Pythagoras
🔢 Flächeninhalt
🔢 Sinus, Kosinus, Tangens (Ankathete, Gegenkathete, Hypotenuse)
🔢 Winkel und Seitenlängen berechnen
🔢 Kosinus- und Sinussatz
🔢 Satz des Thales
🔢 Höhen- und Kathetensatz
🔢 Strahlensätze
learning by doing
Fragestellungen zum Ausprobieren
- Welchen Wert erhalte ich immer, wenn ich alle 3 Winkel addiere ?
- In welchem Winkel stehen die Seitenhöhen auf den jeweiligen Seiten ?
- Wie berechne ich den Flächeninhalt A des Dreiecks ?
- Muss man die Grundseite c und die Höhe hc für die Flächeninhaltsberechnung verwenden oder eignen sich noch andere Seiten hierfür ?
- Wie berechnet man den Umfang U des Dreiecks ?
- Wie nennt man ein Dreieck wenn sich der Höhenschnittpunkt H außerhalb des Dreiecks befindet ?
- Wie nennt man ein Dreieck wenn sich der Höhenschnittpunkt H innerhalb des Dreiecks befindet ?
- Wenn sich ein rechter Winkel im Dreieck befindet, was passiert dann mit den Seitenhöhen ?
- Wenn sich ein rechter Winkel im Dreieck befindet, in welche Dreieckseiten gehen dann die Seitenhöhen über ?
- Wie kann man dann den Flächeninhalt A berechnen und welche Seiten kann man dann benutzen ?
- Wo befindet sich dann im Dreieck mit einem rechten Winkel der Höhenschnittpunkt H ?
learning by doing
Fragestellungen zum Ausprobieren
-
Probiere : Vergrößere die Seite a immer weiter und weiter. Irgendwann siehst Du, dass das Dreieck wieder kleiner wird. Warum ist das so ? Der "Satz des Pythagoras" kann nur in Dreiecken mit einem "rechten Winkel = 90°" benutzt werden. Irgendwann muss das Dreieck also wieder kleiner werden, um den 90° Winkel beizubehalten.
Der rechte Winkel scheint sich also auf einer Kreisbahn zu bewegen. Das macht er in der Tat. Er läuft auf dem "Thaleskreis" entlang. Alle gebildeten Dreiecke, die auf diesem Thaleskreis generiert werden, sind rechtwinklige Dreiecke.
Der 90° Winkel befindet sich hier gegenüber der Seite c.
Die Seite gegenüber dem rechten Winkel wird "Hypotenuse" genannt. Also ist hier die Seite c die Hypotenuse. -
Du siehst in der Formel unter dem Dreieck, dass mit Quadraten gerechnet wird. Ein Quadrat bedeutet eine Flächenbildung, die man hier über den jeweiligen Seiten auch farblich erkennen kann. a² = a * a (Flächeninhalt für ein Quadrat) oder b² = b * b oder c² = c * c
Also sagt die Formel von Pythagoras aus, dass die Fläche a² plus die Fläche b² gleich die Fläche von c² ist.
Dies kann man auch an dem "Flächenbeweis" rechts neben dem Dreieck erkennen. Die grüne Fläche von c² wird komplett von den Flächen a² und b² ausgefüllt.
Trigonometrie Rechner
Wähle einen Bezugswinkel und gebe die bekannten Werte ein, um die fehlenden Seiten und Winkelfunktionen zu berechnen. Lasse dabei das Feld für den Wert leer, der ausgerechnet werden soll.
learning by doing
Fragestellungen zum Ausprobieren
- Probiere und Teste : Schaue zunächst, was passiert, wenn Du den Bezugswinkel zwischen den Winkeln Alpha und Beta wechselst.
- Die ersten beiden trigonometrischen Funktionen Sinus und Kosinus haben als Basis immer die Hypotenuse. Das ist die Seite dem rechten Winkel (der mit 90°) gegenüber. Also hier die Seite c gegenüber dem Winkel Gamma. Schaue Dir die Berechnungsmethoden Sinus und Kosinus genauer an.
- Schaue Dir jetzt Tangens an. Dieser berechnet sich nur über die Katheten des Dreiecks. Hier fehlt die Hypotenuse in der Rechnung.
- Andere Dreiecke : Dreiecke können unterschiedlich aussehen und in unterschiedlicher Lage dargestellt sein. Suche immer erst den rechten Winkel. Die Seite dem gegenüber ist die Hypotenuse. Wenn die Länge dieser bekannt ist, kannst Du davon ausgehen, dass Du mit Sinus oder Kosinus rechnen musst. Die andere Seite an einem der anderen Winkel, muss dann eine Kathete sein. Ob Gegenkathete oder Ankathete entscheidet dann die Berechnungsmethode und der Bezugswinkel.
- Kein rechter Winkel im Dreieck zu finden ? Dann kannst Du die Standardfunktionen Sinus, Kosinus und Tangens so nicht anwenden. Dafür benutzt man andere Formeln für sogenannte "beliebige Dreiecke".
- Tangens : Tangens ist in seiner Funktion häufig in der Form von Steigungsdreiecken z.B. bei linearen Funktionen zu finden. Der Tangenswert entspricht dann dort der Steigung m oder später auch in der höheren Mathematik der 1. Ableitung f '(x) an einer bestimmten Stelle der Funktion.
Flächen- und Volumenrechner
learning by doing
Beim Würfel und Quader kann in die ausgeklappte Ansicht umgeschaltet werden. Man kann dann sehen, wie die Flächen zusammenhängen.
Das wird z.B. beim Basteln mit Papier oder beim Falten eines Verpackungskartons genutzt.
Ebenso kann man sich schraffierte Mantelfläche einblenden lassen. Das ist die Gesamtheit aller Flächen, die den Körper (eben wie ein Mantel) umgeben. Die Grundfläche und Deckfläche zählen hierbei nicht mit.
Berechnet man hingegen die Oberfläche O eines Körpers, zählen alle Flächen dazu.
Die Längen, Flächen und Volumina sind hier in cm, cm² und cm³ angegeben. Man kann natürlich dafür auch andere Längen-, Flächen- und Volumeneinheiten verwenden.
Oft rechnet man bei den Volumina mit dm³ z.B. bei 1 Liter Wasser, was ca. 1 dm³ Volumen entspricht. Das wird häufig bei Kochrezepten und Messbechern genutzt.
Man kann die Einheiten auch ineinander umrechnen :
Wenn man nicht mehr weiß, wie der Umrechnungsfaktor bei Längen, Flächen und Volumina ist, einfach auf die Potenz der Einheit schauen.
Längen : Einer-Potenz : Faktor 10 z.B. cm
Flächen : Zweier-Potenz : Faktor 100 z.B. cm²
Volumina : Dreier-Potenz : Faktor 1000 z.B. cm³
Die Potenz bestimmt also die Anzahl der Nullen im Faktor. Wieviel mal ich den Faktor benutzen muss, um die Einheiten umzurechnen, hängt dann von der Quell- und Zieleinheit ab und ob ich multiplizeren oder dividieren muss :
(z.B. cm in m oder mm in cm)
- Was auffällt : Beim Kreis und der Kugel wird immer nur der Radius r für die Berechnung herangezogen. Beim Quadrat und Würfel sind alle Seiten gleich lang und es werden immer nur die Seite(n) a für die Berechnung herangezogen.
- Die Oberfläche des Würfels besteht somit aus vielen Quadraten, dessen Flächen man einfach zur Oberfläche O aufsummiert : O = a²+a²+a²+a²+a²+a² = 6a²
- Der Mantel M des Würfels hat 2 Flächen weniger. Es fehlen dann für die Berechnung die Grund- und Deckfläche. Somit haben wir da 2 Quadratflächen weniger, als in der Gesamtoberfläche O :
- M = a²+a²+a²+a² = 4a²
- Rechtecke und Quader sind in die Breite & Tiefe gezogene Quadrate und Würfel.
- Beim Quadrat und Rechteck wird häufig die Diagonale d mit eingezeichnet und berechnet. Die Diagonale ergibt sich durch die Berechnung mit Pythagroas ! Bei dem Quadrat gibt es eine Besonderheit, da alle Seiten gleich lang sind. Finde es mit Pythagoras heraus !
- Bei den 3D-Ansichten kann das Flächennetz sowie der Mantel der 3D-Körper eingeblendet werden. Probiere es aus !
- Beim Mantel M und der Oberfläche O eines Quaders sind es entsprechend Rechteckflächen, die unterschiedlich groß sein können und aufsummiert werden. Schaue Dir dazu an, wie sich die beiden Formeln M und O für einen Quader ergeben.
- Ein Parallelogramm ist schiefgestellt. Das schiefgestellte 3D-Objekt dazu nennt man Spat. Für die Fläche des Parallelogramms ist nur die Seite a und die Höhe h notwendig.
- Für die Volumenberechnung V eines Spats benutzt man die Grundfläche A (Parallelogramm) multipliziert mit der Länge l des Spats.
- Bei der Raute und dem Prisma können die Seiten e und f die Form der Raute in Breite und Höhe beeinflussen.
- Auch hier gilt : Die Grundfläche A (der Raute) multipliziert mit der Prismenhöhe h ergibt das Volumen V des Prismas.
f(x) = ax³ + bx² + cx + d
🔢 Ganzrationale Funktionen 3. Grades
🔢 Ableitungsregeln (Faktorregel / Summenregel / Produktregel / Quotientenregel)
🔢 Newton’sche Verfahren
🔢 Horner Schema, Linearfaktoren
🔢 Polynomdivision
🔢 Kurvendiskussion von ganzrationalen Funktionen (Nullstellen, Maximum, Minimum, Wendepunkte, Symmetrie, Asymptotischer Verlauf, grafische Darstellung,…)
🔢 Kurvendiskussion von gebrochenrationalen Funktionen
🔢 grafische Ableitungen von Funktionen
🔢 Ableitungen von trigonometrischen Funktionen
🔢 2 Beispiele : Extremwertaufgaben
Mit multimedialer Unterstützung mit den Taschenrechnern der National Instruments
LESEPROBE (PDF)
🔢 Bestimmtes und unbestimmes Integral (Flächenfunktion)
🔢 Flächenwert unter und zwischen Funktionen berechnen (Randkurven)
🔢 Integrationsregeln / Integrieren von reellen Funktionen
🔢 Grund- und Stammintegrale
🔢 Zwei- / Dreifachintegrale / Wegintegral / Umlaufintegral
🔢 Quadratische Mittelwerte
🔢 Leibniz’sche Sektorformel (Flächeninhalt von Sektoren)
🔢 Schwerpunkt einer homogenen Fläche
🔢 Bogenlänge einer Kurve
🔢 Volumen eines Rotationskörpers (um x- und y-Achse gedreht)
🔢 Mantelfläche eines Rotationskörpers
🔢 Schwerpunkt eines Rotationskörpers
Mit multimedialer Unterstützung mit den Taschenrechnern der National Instruments
🔢 Gauß’sche Zahlenebene, Koordinatensystem
🔢 Darstellungsformen einer komplexen Zahl, Betrag und Winkel, Polarform, trigonometrische Form
🔢 Reelle Zahl, imaginäre Zahl
🔢 Umrechnung der Darstellungsformen untereinander
🔢 Grundrechenarten mit komplexen Zahlen
🔢 Natürlicher Logarithmus einer komplexen Zahl
🔢 Ortskurven, Inversion
🔢 Komplexe Funktionen
🔢 Erste einfache Darstellung einer harmonischen Schwingung
Mit multimedialer Unterstützung mit den Taschenrechnern der National Instruments
🔢 Aufbau einer reellen Matrix
🔢 Quadratische Matrizen, Diagonalmatrizen, untere und obere Dreiecksmatrizen, Einheitsmatrix, symmetrische & schiefsymmetrische Matrizen, orthogonale Matrix
🔢 Rechnen mit Matrizen (FALK Schema)
🔢 Reguläre und Inverse Matrix
🔢 Zwei- und dreireihige Determinanten
🔢 Regel von Sarrus, Unterdeterminanten, algebraisches Komplement (Schachbrettmuster)
🔢 Laplace’scher Entwicklungssatz
🔢 Lineare Gleichungssysteme / Lösen / Cramer’sche Regel / mit 2, 3 oder mehr Unbekannten
🔢 Gauß’sches Eleminationsverfahren
🔢 Beispiel : Elektrische Schaltung mit Matrizenrechnung lösen
Mit multimedialer Unterstützung mit den Taschenrechnern der National Instruments
LESEPROBE (PDF)
🔢 Vektoren im kartesischem Koordinatensystem zeichnen
🔢 geometrische Addition von Vektoren, Resultierende (Beispiel Kräfte), Vektorpolygon, Euler’sche Form
🔢 Normierung von Vektoren
🔢 Vektorkomponenten, Vektorkoordinaten, Einheitsvektoren, Nullvektoren, Ortsvektoren, Basisvektoren, lineare Vektordarstellung, parallele und antiparallele Vektoren, Verlängerung und Verkürzung von Vektoren, kollineare Vektoren, Vektorverschiebungen
🔢 2D- und 3D Raum
🔢 Skalarprodukt, Vektorprodukt (auch Determinantenschreibweise), Spatprodukt, Prüfung auf rechtwinklig, kollinear, komplanar
🔢 Länge / Betrag / Winkel von Vektoren, Sinus- und Kosinuswerte
🔢 Schnittwinkel zweier Vektoren
🔢 Projektion von Vektoren auf andere Vektoren
🔢 Summen- und Differenzvektor
🔢 Vektorielle Darstellung einer Geraden
🔢 Abstand eines Punktes von einer Geraden
🔢 Abstand zweier paralleler Geraden
🔢 Abstand zweier windschiefen Geraden
🔢 Vektorielle Darstellung einer Ebene im Raum
🔢 Schnittwinkel zweier Ebenen
🔢 Beispiel : Spieleprogrammierung : Bewegung von Plattformen bei Jump & Run Spielen mit Vektoren im 2D-Raum
